股指期貨的理論定價(jià)模型
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確定期貨合約與現(xiàn)貨指數(shù)之間套利空間的有效工具——股指期貨的理論定價(jià)模型
股指期貨期現(xiàn)套利成功的一個(gè)前提是，投資者能夠確定股指期貨合約當(dāng)前價(jià)格與證券市場指數(shù)差價(jià)是否合理，也就是判斷兩者之間是否存在套利空間。目前，世界金融期貨市場上進(jìn)行期現(xiàn)套利決策的一個(gè)經(jīng)常被使用的工具是利用股指期貨的理論定價(jià)模型，通過對比股指期貨的實(shí)際價(jià)格和理論價(jià)格來判斷是否存在套利的機(jī)會(huì)：當(dāng)實(shí)際價(jià)格高于理論價(jià)格時(shí)，賣空指數(shù)期貨，買入指數(shù)現(xiàn)貨；當(dāng)期貨實(shí)際價(jià)格低于理論價(jià)格時(shí)，買入指數(shù)期貨并賣空指數(shù)現(xiàn)貨。
那么這個(gè)理論定價(jià)模型是怎么產(chǎn)生的呢？
經(jīng)濟(jì)學(xué)中有個(gè)基本定律稱為“一價(jià)定律”。意思是說，兩份相同的資產(chǎn)在兩個(gè)市場中的報(bào)價(jià)必然相同，否則一個(gè)市場參與者可以進(jìn)行所謂無風(fēng)險(xiǎn)套利，即在一個(gè)市場中低價(jià)買進(jìn)，同時(shí)在另一個(gè)市場中高價(jià)賣出。最終，原來定價(jià)低的市場中因?qū)υ撡Y產(chǎn)需求增加而使其價(jià)格上漲，而原來定價(jià)高的市場中該資產(chǎn)價(jià)格會(huì)下跌直至兩個(gè)報(bào)價(jià)相等。因此，供求力量會(huì)產(chǎn)生一個(gè)公平而有競爭力的價(jià)格以使套利者無法獲得無風(fēng)險(xiǎn)利潤。
根據(jù)上述定律，股指期貨合約的價(jià)格與現(xiàn)貨指數(shù)價(jià)格之間的差價(jià)在理論上應(yīng)該處于一個(gè)合理范圍，也就是說，投資者可以根據(jù)股票現(xiàn)貨價(jià)格計(jì)算出股指期貨價(jià)格在理論上的合理價(jià)位。于是，股指期貨的理論定價(jià)模型應(yīng)運(yùn)而生。
下面，我們就來推導(dǎo)出股指期貨的理論定價(jià)模型。
由于影響股指期貨價(jià)格的相關(guān)因素太多，無法設(shè)立包羅所有影響因素的數(shù)學(xué)模型，因此，我們只能篩選出主要影響因素來建立數(shù)學(xué)模型。
首先，股指期貨是從股票指數(shù)衍生而來，因此，它的價(jià)格F與股票現(xiàn)貨指數(shù)的價(jià)格I戚戚相關(guān)。股票現(xiàn)貨指數(shù)價(jià)格的漲跌必然影響股指期貨價(jià)格的漲跌。由此可以建立以下最為粗糙的數(shù)學(xué)模型：
F～I(xiàn)
其中：符號(hào)～代表相關(guān)性。
下一步，我們需考查在買賣過程中影響股指期貨價(jià)格的主要因素。我們發(fā)現(xiàn)，由于期貨有交割期，賣方要過一段時(shí)間后才能交付現(xiàn)貨得到現(xiàn)金，買方到交割時(shí)才付出現(xiàn)金交收現(xiàn)貨，相當(dāng)于買方向賣方融資。這個(gè)融資成本用該時(shí)段的無風(fēng)險(xiǎn)利率（可以考慮用市場利率代替）R表示。這樣，當(dāng)賣方賣出期貨合約時(shí)，他需要得到相當(dāng)于在交割前向買方“融資”的收益I·R。這個(gè)收益應(yīng)該加在期貨價(jià)格F里。于是我們將原始的數(shù)學(xué)模型精確化一步：
F≈I＋I(xiàn)·R
再下一步，我們還發(fā)現(xiàn)股票有分紅機(jī)會(huì)，這是影響股指期貨價(jià)格的第三大因素。期貨賣方雖然賣出了股指合約，相當(dāng)于把股票組合提前賣掉了，但在交割期到來前，仍持有股票組合，還可以收到股息，因而減少了其持倉成本，這對相當(dāng)于已經(jīng)買了這個(gè)股票組合的期貨多頭來說不太公平，因此期貨價(jià)格要向下調(diào)整相當(dāng)于股息的幅度。設(shè)股息率為D，結(jié)果期貨價(jià)格又應(yīng)減去對應(yīng)資產(chǎn)收益I·D：
F＝I＋I(xiàn)·R－I·D
此外，期貨合約交割時(shí)間的長短是影響期價(jià)的第四大因素。因?yàn)椴煌桓顣r(shí)間越長，相當(dāng)于融資時(shí)間越長，就像定期儲(chǔ)蓄一樣，錢存的時(shí)間越長，利息越高，所以不同月份的期貨合約掛牌價(jià)應(yīng)存在不同的時(shí)間升水問題。設(shè)期貨合約的交割期為T－t日，化為年份為（T－t）/365，最終股指期貨理論定價(jià)模型為：F＝I＋I(xiàn)·R·（T－t）/365－I·D·（T－t）/365，即：
F＝I＋I(xiàn)·（R－D）·（T－t）/365
其中：F——股指期貨理論價(jià)格
I——現(xiàn)貨股指價(jià)格
R——無風(fēng)險(xiǎn)利率（用銀行年貸款利率代替）
D——年股息收益率
T——交割時(shí)間
t——某一時(shí)間
其他影響因素怎么辦？這些因素全部被假定處于理想條件下，因此不再在模型中予以考慮。這些次要因素被假定為：
假定：①投資者構(gòu)造出的投資組合與股市指數(shù)在組合比例、股指的價(jià)值與股票組合的市值方面都完全一致；②投資者可以在金融市場很方便地借款和貸款用于投資；③無交易費(fèi)用；④當(dāng)套利機(jī)會(huì)出現(xiàn)時(shí)，市場參與者將參與套利活動(dòng)；⑤無心理恐慌因素；⑥對股指期貨合約進(jìn)行現(xiàn)金結(jié)算。
如果考慮用連續(xù)復(fù)利形式的R、D，則上述股指期貨的理論定價(jià)模型將更精確為：
F＝I·e（R－d）（T－t）/365
其中：R——無風(fēng)險(xiǎn)利率（用銀行年貸款利率代替）
d——以連續(xù)復(fù)利計(jì)算的年股息收益率（％）
T——期貨合約到期時(shí)間
t——現(xiàn)在的時(shí)間
T－t——期指合約到期天數(shù)
表9.5 提高計(jì)算復(fù)利的頻率對100元在一年末的價(jià)值影響（設(shè)利率為每年10％）
當(dāng)m趨于無窮大時(shí)，就稱為連續(xù)復(fù)利。
我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)計(jì)算利息時(shí)間間隔達(dá)到每周一次和每日一次時(shí)，當(dāng)m趨于無窮大時(shí)，年末到期時(shí)的本利總和已相差無幾了。從實(shí)用性來看，通常認(rèn)為連續(xù)復(fù)利與每日計(jì)復(fù)利等價(jià)。
根據(jù)連續(xù)復(fù)利的概念我們來推導(dǎo)F＝I·e（R－d）（T－t）/365公式。
公式推導(dǎo)：由F＝I＋I(xiàn)·（R－D）·（T－t）/365＝I·［1＋（R－D）·（T－t）/365］
設(shè)：i＝（R－D）·（T－t）/365
根據(jù)連續(xù)復(fù)利的概念我們來推導(dǎo)F＝I·e（R－d）（T－t）/365公式。
公式推導(dǎo)：由F＝I＋I(xiàn)·（R－D）·（T－t）/365＝I·［1＋（R－D）·（T－t）/365］
設(shè)：i＝（R－D）·（T－t）/365
則：F＝I·（1＋i）
有了上述理論定價(jià)模型，我們就可以隨時(shí)計(jì)算出當(dāng)時(shí)的股指期貨合約的理論價(jià)格，然后與股指期貨合約實(shí)際價(jià)格對比。當(dāng)股指期貨合約實(shí)際價(jià)格高于或低于股指期貨合約理論價(jià)格時(shí)，進(jìn)行套利交易可以盈利。但事實(shí)上，交易是需要成本的，如交易手續(xù)費(fèi)、資金利率成本等。這導(dǎo)致正向套利的合理價(jià)格要向上移，反向套利的合理價(jià)格要向下移，形成一個(gè)區(qū)間。在這個(gè)區(qū)間里，套利不但得不到利潤反而會(huì)導(dǎo)致虧損，因?yàn)樗椎睦�不夠交納交易成本費(fèi)用。這個(gè)區(qū)間稱為無套利機(jī)會(huì)區(qū)間（也稱套利成本區(qū)間）。只有當(dāng)期貨指數(shù)實(shí)際交易價(jià)格高于區(qū)間上界時(shí)，正向套利才能進(jìn)行；反之，當(dāng)期貨指數(shù)實(shí)際交易價(jià)格低于區(qū)間下界時(shí)，反向套利才能進(jìn)行。
現(xiàn)在的關(guān)鍵是如何確定這個(gè)無套利機(jī)會(huì)區(qū)間的上下限，這是期現(xiàn)套利成功與否的重要一環(huán)。
［例9-4］
8月22日，股票市場上現(xiàn)貨滬深300指數(shù)為1224.1點(diǎn)，當(dāng)年A股市場分紅年股息率在2.6％左右，假設(shè)融資（貸款）年利率r＝6％，那么，10月22日到期交割的股指期貨10月合約的目前理論價(jià)格應(yīng)為：
F＝1224.1＋1224.1×（6％－2.6％）×1/6＝1231.04點(diǎn)
據(jù)此來計(jì)算股指期貨合約的無套利區(qū)間。
又假設(shè)：投資人要求的回報(bào)率與市場融資利差為1％；期貨合約的交易雙邊手續(xù)費(fèi)為0.2個(gè)指數(shù)點(diǎn)；市場沖擊成本為0.2個(gè)指數(shù)點(diǎn)；股票交易雙邊手續(xù)費(fèi)及市場沖擊成本為1％。折算成指數(shù)點(diǎn)是：
借貸利率差成本為：1224.1×1％×2/12（年份）＝2.04點(diǎn)
股票交易雙邊手續(xù)費(fèi)及市場沖擊成本：1224.1×1％＝12.24點(diǎn)
期貨交易雙邊手續(xù)費(fèi)及市場沖擊成本為：0.2＋0.2＝0.4點(diǎn)
合計(jì)TC＝12.24＋2.04＋0.4＝14.68點(diǎn)
前面已經(jīng)求得目前股期期貨合約的合理價(jià)格應(yīng)為1231.04點(diǎn)，那么：
套利區(qū)間上界為：1231.04＋14.68＝1245.72點(diǎn)
套利區(qū)間下界為：1231.04－14.68＝1216.36點(diǎn)
無套利機(jī)會(huì)區(qū)間為：［1216.36，1245.72］
也就是說，在8月22日現(xiàn)貨滬深300指數(shù)為1224.1點(diǎn)時(shí)，股指期貨10月合約的價(jià)格如果在1245.72點(diǎn)以上時(shí)進(jìn)行正向套利或者在1216.36點(diǎn)以下時(shí)進(jìn)行反向套利才會(huì)有盈利，而且10月合約漲得越高正向套利盈利空間越大，跌得越低反向套利盈利空間越大或越安全。而10月合約價(jià)格在［1216.36，1245.72］內(nèi)是無套利機(jī)會(huì)的。
現(xiàn)在的關(guān)鍵是如何確定這個(gè)無套利機(jī)會(huì)區(qū)間的上下限，這是期現(xiàn)套利成功與否的重要一環(huán)。
［例9-4］
8月22日，股票市場上現(xiàn)貨滬深300指數(shù)為1224.1點(diǎn)，當(dāng)年A股市場分紅年股息率在2.6％左右，假設(shè)融資（貸款）年利率r＝6％，那么，10月22日到期交割的股指期貨10月合約的目前理論價(jià)格應(yīng)為：
F＝1224.1＋1224.1×（6％－2.6％）×1/6＝1231.04點(diǎn)
據(jù)此來計(jì)算股指期貨合約的無套利區(qū)間。
又假設(shè)：投資人要求的回報(bào)率與市場融資利差為1％；期貨合約的交易雙邊手續(xù)費(fèi)為0.2個(gè)指數(shù)點(diǎn)；市場沖擊成本為0.2個(gè)指數(shù)點(diǎn)；股票交易雙邊手續(xù)費(fèi)及市場沖擊成本為1％。折算成指數(shù)點(diǎn)是：
借貸利率差成本為：1224.1×1％×2/12（年份）＝2.04點(diǎn)
股票交易雙邊手續(xù)費(fèi)及市場沖擊成本：1224.1×1％＝12.24點(diǎn)
期貨交易雙邊手續(xù)費(fèi)及市場沖擊成本為：0.2＋0.2＝0.4點(diǎn)
合計(jì)TC＝12.24＋2.04＋0.4＝14.68點(diǎn)
前面已經(jīng)求得目前股期期貨合約的合理價(jià)格應(yīng)為1231.04點(diǎn)，那么：
套利區(qū)間上界為：1231.04＋14.68＝1245.72點(diǎn)
套利區(qū)間下界為：1231.04－14.68＝1216.36點(diǎn)
無套利機(jī)會(huì)區(qū)間為：［1216.36，1245.72］
也就是說，在8月22日現(xiàn)貨滬深300指數(shù)為1224.1點(diǎn)時(shí)，股指期貨10月合約的價(jià)格如果在1245.72點(diǎn)以上時(shí)進(jìn)行正向套利或者在1216.36點(diǎn)以下時(shí)進(jìn)行反向套利才會(huì)有盈利，而且10月合約漲得越高正向套利盈利空間越大，跌得越低反向套利盈利空間越大或越安全。而10月合約價(jià)格在［1216.36，1245.72］內(nèi)是無套利機(jī)會(huì)的。